St. Petersburg Paradox

처음으로 동전 앞면이 나올 때까지의 횟수, 즉 First Success를 따르는 확률 변수

X

에 대해

2^{X}

를 받는 게임이 있다면, 참가비는 얼마일 때가 공정한가?

공정한 참가비는, 아마 상금의 기대값으로 하는 것이 합리적이라 보일 수 있지만, 실제로는 그렇지 않다.

상금 확률 변수 $Y = 2^{X}$ 라 하자. LOTUS에 의해,

E [Y] = y \sum \infty y P (Y = y) = k = 1 \sum \infty (2^{k}) P (X = k) = k = 1 \sum \infty 2^{k} (\frac{1}{2})^{k} = k = 1 \sum \infty 1 = \infty

즉, 위의 논리대로라면, 공정한 참가비는 무한해야 한다.

Why Counterintuitive?

게임의 주최자가 무한한 돈을 지불할 능력이 있지는 않을 것이다. 보통은 지불 상금의 한도를 걸어 놓는다.

예를 들어 40회까지만 상금으로 한다고 하면

E [Y] = k = 1 \sum 40 2^{k} (\frac{1}{2})^{k} = k = 1 \sum 40 1 = 40

로 줄어든다. 이렇게 본다면 더 직관적이게 보인다.

혹은 40회 이후부터는, 40회와 동일하게 상금을 지급한다고 하면

E [Y] = k = 1 \sum 40 2^{k} (\frac{1}{2})^{k} + k = 41 \sum \infty (2^{40} (\frac{1}{2})^{k}) = k = 1 \sum 40 1 + 2^{40} k = 41 \sum \infty (\frac{1}{2})^{k} = 40 + 1 = 41

이 되고, 이 역시 무한보다는 훨씬 작게 나타난다.

즉, 비직관적인 결과가 나타난 이유는 주최자가 무한하게 돈을 지불할 능력이 없다는 것을 고려하지 않은 데에서 나온다.